Teorema del Límite Central

En cierta ocasión leyendo un poco el blog de Jhon Cook, cree un post en mi blog anterior en el nos habla de los inicios y la mejor manera de explicar el Teorema del Límite Central que dice lo siguiente

Teorema del Límite Central (TCL)

Si \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población con valor esperado \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\) finitas, considerando la variable aleatoria

\[Z_n=\frac{\overline{X}_n-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\]

entonces la sucesión de variables aleatorias \(Z_n\) converge en distribución a una variable aleatoria con distribución Normal Estándar.

Es decir

\[\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu)}{\sigma}\xrightarrow{d}Z\sim N(0,1).\]

Esto se debe en gran parte a la convergencia en distribución de la suma de un número creciente de variables aleatorias al modelo Gaussiano. Algunos teoremas derivados de este son los siguientes

Teorema 2

Si \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal de valor esperado $\mu$ y varianza \(\sigma^2\), entonces

\[{\overline X}\sim N \left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).\]

Teorema 3

Si \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) es una sucesión de variables aleatorias independientes tales que \(X_i\sim N(\mu_i,\sigma^2_i)\), entonces

\[U=\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\mu_i}{\sigma_i}\right)^2\sim \chi^2_{(n)}.\]

Corolario

Cuando una sucesión de variables aleatorias constituyen una muestra aleatoria de una población con distribución Normal, de valor esperado \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces

\[U=\sum\limits_{i=1}^n\left(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2\sim \chi^2_{(n)}.\]

Teorema 4

Si \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) es una muestra aleatoria de una población Normal de valor esperado \(\mu\) y varianza \(\sigma^2\), entonces

\[\sum\limits_{i=1}^n\left(\frac{X_i-\overline{X}_n}{\sigma}\right)^2=\frac{(n-1)S^2_n}{\sigma^2}\sim \chi^2_{(n-1)}.\]

En un curso de probabilidad se podría comenzar su estudio de la siguiente manera

1. Definir la distribución normal.
2. Probar un caso especial del teorema central del límite.
3. Presente la aproximación normal a la binomial, como corolario.

En este orden de ideas se puede también probar el TCL mediante un ejemplo práctico en R construyendo un conjunto de números aleatorios con cierta distribución y aplicando el teorema 2, por ejemplo veamos el siguiente código

U<-matrix(runif(10000),ncol=10)
medias<-apply(U,1,mean)
hist(medias,main="Distribución de la Media",freq=F,border=8,ylab="Frecuencias Relativas")
lines(density(medias),col=2,lty=2,lwd=2)

Su resultado es el siguiente el gráfico de este post.

Por último Jhon Cook nos habla de tres formas diferentes del TLC.