En cierta ocasión leyendo un poco el blog de Jhon Cook, cree un post en mi blog anterior en el nos habla de los inicios y la mejor manera de explicar el Teorema del Límite Central que dice lo siguiente
Teorema del Límite Central (TCL)
Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una población con valor esperado μ y varianza σ2 finitas, considerando la variable aleatoria
Zn=¯Xn−μσ√n
entonces la sucesión de variables aleatorias Zn converge en distribución a una variable aleatoria con distribución Normal Estándar.
Es decir
√n(¯X−μ)σd→Z∼N(0,1).
Esto se debe en gran parte a la convergencia en distribución de la suma de un número creciente de variables aleatorias al modelo Gaussiano. Algunos teoremas derivados de este son los siguientes
Teorema 2
Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una población con distribución Normal de valor esperado $\mu$ y varianza σ2, entonces
¯X∼N(μ,σ2n).
Teorema 3
Si X1,X2,…,Xn es una sucesión de variables aleatorias independientes tales que Xi∼N(μi,σ2i), entonces
U=n∑i=1(Xi−μiσi)2∼χ2(n).
Corolario
Cuando una sucesión de variables aleatorias constituyen una muestra aleatoria de una población con distribución Normal, de valor esperado μ y varianza σ2, entonces
U=n∑i=1(Xi−μσ)2∼χ2(n).
Teorema 4
Si X1,X2,…,Xn es una muestra aleatoria de una población Normal de valor esperado μ y varianza σ2, entonces
n∑i=1(Xi−¯Xnσ)2=(n−1)S2nσ2∼χ2(n−1).
En un curso de probabilidad se podría comenzar su estudio de la siguiente manera
- Definir la distribución normal.
- Probar un caso especial del teorema central del límite.
- Presente la aproximación normal a la binomial, como corolario.
En este orden de ideas se puede también probar el TCL mediante un ejemplo práctico en R construyendo un conjunto de números aleatorios con cierta distribución y aplicando el teorema 2, por ejemplo veamos el siguiente código
U<-matrix(runif(10000),ncol=10)
medias<-apply(U,1,mean)
hist(medias,main="Distribución de la Media",freq=F,border=8,ylab="Frecuencias Relativas")
lines(density(medias),col=2,lty=2,lwd=2)
Su resultado es el siguiente el gráfico de este post.
Por último Jhon Cook nos habla de tres formas diferentes del TLC.
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