domingo, 10 de mayo de 2009

Cálculo del valor de e mediante simulación

Un ejercicio clásico de simulación propuesto por Ross (1999; p. 43), que estimula su estudio y generalmente los estudiantes se enfrentan es el siguiente problema

Problema


Si \(U_1, U_2, \ldots \) son iid uniformente sobre \((0,1)\), si \(S_n=\sum_{i=1}^nU_i\), y si

\[N=\min\{n\mid S_n>1\},\]
entonces \(\mathcal{E}\,(N)=e\)


Los estudiantes tienen pequeñas dificultades en aceptar que el valor de \(e\) se puede obtener por simulación mediante la implementación de una algoritmo al problema anterior y es que generalmente el valor de \(e\) siempre se nos ha enseñado en matemáticas como el valor de un limite de cierta función \(\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\) ó la sumatoria infinita de cierta función \(\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\) y es que la verdad existen muchas representaciones de \(e\). Russell (1991) propone no solo una solución al problema anterior , sino también una estimación al valor de \(e\). Veamos su demostración.

Demostración


Claramente \(N\) tiene una probabilidad no nula sobre el conjunto \(T=\{2,3,\ldots\}\) y para \(n\in T\), se tiene que

\[P(N=n)=P(S_n>1\text{ y }S_{n-1}<1)=P(S_{n-1}<1)-P(S_{n}<1).\]

Esto se tiene puesto si se define \(E_n\) para el evento \(\{S_n<1\}(n=1,2,\ldots)\) y notando que \(P(E_n^c\cap E_{n-1})=P(E_{n-1})-P(E_n)\).

Ahora necesitamos calcular \(P(S_n<1)\) para \(n=1,2,\ldots\). Esta probabilidad vale \(1\) para \(n=1\). Probemos para \(n=2\). Consideremos una sucesión de números aleatorios tales que \(U_{n-1}<U_n\) por lo tanto


\[P( S_2=U_1+U_2<1)= P( U_1<U_2)=\frac{1}{2}\]
 
esto se cumple pues todos los posibles ordenamientos de \(U_1,U_2\) son igualmente probables. Para \(n\) se tiene


\[P(S_n=U_1+U_2+\cdots+U_n<1)=P(U_1<U_2<\cdots<U_n)=\frac{1}{n!}\]


Esto también se cumple puesto los posibles ordenamientos de \(U_1,\ldots,U_n\) son igualmente probables. Por lo tanto

\[P(N=n)=P(S_{n-1}<1)-P(S_n<1)=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=\frac{n-1}{n!}\]

Ahora vemos que

\[\mathcal{E}\,(N)=\sum_{n=2}^\infty nP(N=n)=\sum_{n=2}^\infty\frac{n(n-1)}{n!}=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(n-2)!}=e.\]

Referencias


Ross, S. M. (1999), Simulación, 2 edn, Prentice-Hall, México.

Russell, K. G. (1991), 'Estimating the value of $e$ by simulation', The American Statistician, 45(1), 66-68.