Cálculo del valor de e mediante simulación

Un ejercicio clásico de simulación propuesto por Ross (1999; p. 43), que estimula su estudio y generalmente los estudiantes se enfrentan es el siguiente problema

Problema

Si $U_1, U_2, \ldots$ son iid uniformente sobre $(0,1)$, si $S_n=\sum_{i=1}^nU_i$, y si

$$N=\min\{n\mid S_n>1\},$$

entonces $\mathcal{E}\,(N)=e$

Los estudiantes tienen pequeñas dificultades en aceptar que el valor de $e$ se puede obtener por simulación mediante la implementación de una algoritmo al problema anterior y es que generalmente el valor de $e$ siempre se nos ha enseñado en matemáticas como el valor de un limite de cierta función $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ó la sumatoria infinita de cierta función $\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}$ y es que la verdad existen muchas representaciones de $e$. Russell (1991) propone no solo una solución al problema anterior , sino también una estimación al valor de $e$. Veamos su demostración.

Demostración

Claramente $N$ tiene una probabilidad no nula sobre el conjunto $T=\{2,3,\ldots\}$ y para $n\in T$, se tiene que

$$P(N=n)=P(S_n>1\text{ y }S_{n-1}<1)=P(S_{n-1}<1)-P(S_{n}<1).$$

Esto se tiene puesto si se define $E_n$ para el evento $\{S_n<1\}(n=1,2,\ldots)$ y notando que $P(E_n^c\cap E_{n-1})=P(E_{n-1})-P(E_n)$.

Ahora necesitamos calcular $P(S_n<1)$ para $n=1,2,\ldots$. Esta probabilidad vale $1$ para $n=1$. Probemos para $n=2$. Consideremos una sucesión de números aleatorios tales que $U_{n-1}<U_n$ por lo tanto

$$P( S_2=U_1+U_2<1)= P( U_1<U_2)=\frac{1}{2}$$
 

esto se cumple pues todos los posibles ordenamientos de $U_1,U_2$ son igualmente probables. Para $n$ se tiene

$$P(S_n=U_1+U_2+\cdots+U_n<1)=P(U_1<U_2<\cdots<U_n)=\frac{1}{n!}$$

Esto también se cumple puesto los posibles ordenamientos de $U_1,\ldots,U_n$ son igualmente probables. Por lo tanto

$$P(N=n)=P(S_{n-1}<1)-P(S_n<1)=\frac{1}{(n-1)!}-\frac{1}{n!}=\frac{n-1}{n!}$$

Ahora vemos que

$$\mathcal{E}\,(N)=\sum_{n=2}^\infty nP(N=n)=\sum_{n=2}^\infty\frac{n(n-1)}{n!}=\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{(n-2)!}=e.$$

Referencias

Ross, S. M. (1999), Simulación, 2 edn, Prentice-Hall, México.

Russell, K. G. (1991), 'Estimating the value of $e$ by simulation', The American Statistician, 45(1), 66-68.