viernes, 5 de febrero de 2010

Sigma álgebra, espacio de probabilidad y función medible

Definición (\(\sigma\)-álgebra) Sea \(\Omega\neq\emptyset\), una colección \(\mathcal{F}\) de subconjuntos de \(\Omega\) se llama una \(\sigma\)-álgebra en \(\Omega\) sii
  1. \(\Omega\in\mathcal{F}\).
  2. \(A\in\mathcal{F}\to A^c\in\mathcal{F}\).
  3. \(A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}\to \bigcup_i A_i\in\mathcal{F}\).
Definición (Espacio Medible) Sea \(\Omega\neq\emptyset\) y \(\mathcal{F}\) una \(\sigma\)-álgebra sobre \(\Omega\). La pareja \( (\Omega,\mathcal{F}) \) se llamara espacio medible.

Definición (Medida de Probabilidad) Sea \( (\Omega,\mathcal{F})\) un espacio medible. Una aplicación \(P:\mathcal{F}\to[0,1]\) se llamara medida de probabilidad sii
  1. \(P(A)\geq 0,\,\forall A\in\mathcal{F}\).
  2. \(P(\Omega)=1\).
  3. Si \(A_1,A_2,\ldots\in\mathcal{F}\) dos a dos disyuntos e.d. \(A_i\cap A_j=\emptyset,\,\forall i\neq j\) entonces \(P(\cup_n A_n)=\sum_n P(A_n)\).